Что в заявлении на отпуск? С 27.12.2022 г. на неделю?

продлеваются и оплачиваются

В отпуске оплачиваются те дни, в которые работник должен был бы работать. Если вы продлили отпуск на 2 дня и 2 и 3 января у работника были бы рабочими днями, то их нужно оплатить.

в заявлении с 27.12 по 03.01
Значит на работу 06.01?
Или в таком случае не продлеваем, т.к. 31-1(выходные)?

Я понимаю, что не оплачиваются, но продлевать обязательно? Ведь работник тогда потеряет в деньгах.

или экономит на днях отпуска.
Если в заявление с 27.12 по 03.01, значит на работу 04.01

Kāpēc jūs domājat, ka neapmaksā? Ja jums atvaļinājuma uzskaite uzņēmumā ir no sērijas "raksta iesniegumu uz kalendārajām dienām un pagarina par svētku dienām", tad šajā gadījumā atvaļinājums pagarinās par divām dienām. Tā kā 2. un 3. janvāris būtu darba dienas, tad šīs dienas darbiniekam apmaksā. Attiecīgi - atvaļinājums pagarinās un pagarinātās dienas tiek apmaksātas.

Ja darbinieks iesniegumu atvaļinājumam rakstītu 27.12 - 01.01 un vēlētos 2.janvaŗī būt darbā, tad viņš būtu savukārt izmantojis 4 kalendārās atvaļinājuma dienas, jo svētku dienas netiek ieskaitītas atvaļinājuma laikā.

Всё зависит от формы написания заявлений, принятой на Вашем предприятии. Если в заявлении чётко написано что работник идёт в отпуск с 27.12 и по 03,01 , это значит, что 4-го работник выходит на работу
А вот если бы он написал в заявлении что с 27.12 и на пять дней, вот тут Вы и должны были бы учитывать праздничные и продлевать ему на них отпуск.

100%
Если Вы не смогли договориться с работодателем, - без всяких благ!
Более того - работодатель может (а на мой взгляд - логично) учитывать, сколько выходных и праздничных дней Вы уже использовали.
Если смогли (сами - работодатель) - флаг Вам в руки, что хотите, то и делайте (в пределах того, что написала Stela).